Quasi-ensembles d'ordre r et approximations de répartitions ordonnées

From a mathematical viewpoint, the theory of r-ordered repartitions deals with some extension of the concept of "power set", by the mean of a complete distributive lattice. As to interpretaiton, one may consider each r-repartition as the exhaustive distribution of some character (or quality) to all the elements of some set ü, according to r viewpoints, the viewpoints forming a chain (linearly ordered set). This paper deals uniquely with the establishing of some distance d on the set pr(ü) of all the r-repartitions of ü, and also of the approximation of any given r-ordered partition P by the subsets of ü which are the nearest from P, according to the metric d. Any of these subsets may then be considered as convenient for replacing P, and one may interpret this replacement as the result of some terminal decision.Sur le plan mathématique, la théorie des r-répartitions ordonnées traite d'une extension du concept d' "ensemble des parties d'un ensemble", sous la forme d'un treillis distributif complet. Quant à l'interprétation, on peut considérer chaque r-répartition comme la distribution exhaustive à tous les éléments d'un ensemble *, d'un certain caractère (ou qualité), selon r points de vue, les points de vue formant un ensemble totalement ordonné. Cet article traite exclusivement de l'établissement d'une distance d sur l'ensemble pr(*) de toutes les r-répartitions de *, et de l'approximation, au sens de la métrique d, d'une r-répartition quelconque P par ceux des sous-ensembles qui lui sont le plus proches. On peut alors considérer que l'un quelconque de ceux-ci est susceptible de venir remplacer P, et on interprète ce remplacement comme le résultat d'une procédure décisionnelle terminale

La constitution du concept de composé partitionnel chez D. Foata : éléments d’une épistémologie de la combinatoire

Cet article d’épistémologie est consacré à décrire la constitution par Dominique Foata d’un concept (le composé partitionnel Y+ d’une suite Y = Yn d’ensembles finis) et d’une certaine figure de pensée mathématique corrélative. Tous deux sont progressivement construits à partir d’identités d’analyse bien connues, associées par exemple à la fonction génératrice des polynômes d’Hermite.This epistemological paper is devoted a concept defined by Dominique Foata of a concept (the composé partitionnel Y+ of a sequence Y = Yn of finite sets) and of some associated mathematical themes of thought. Both are progressively introduced, starting from well known analytical identities, associated for instance to the generating function of Hermite polynomials

A la recherche des "Lois de la Pensée". Sur l'épistémologie du calcul logique et du calcul des probabilités chez Boole

In G. Boole's conceptions, both "logic" and "calculus of probabilities" converged to transcript the "laws of thought" into symbolic mathematical writing. This process turned out to be quasi-experimental for Boole (when referring to the necessity of introspection), but also profoundly mathematical, deep-rooted in some subtle calculation techniques. We shall investigate, in the Laws of Thought, the articulation between logic and probabilities, and also describe the viewpoints it may propose to the contemporary reader on the modern "discrete calculus", as well as on a possible starting point for measure theory.Dans les conceptions de G. Boole, les deux disciplines, "logique" et "calcul des proba-bilités", concouraient toutes deux à la trans-cription dans la langue symbolique mathématique des "lois de la pensée", en une entreprise à la fois quasi-expérimentale pour Boole (par l'introspection qu'elle nécessite), mais aussi profondément mathématique, ancrée dans des techniques de calcul raffinées. Nous examinerons, dans les Laws of Thought, l'articulation entre logique et probabilités, et décrirons aussi les perspectives qu'elle propose au lecteur contemporain, à la fois sur le "calcul discret" moderne, en même temps que sur une ébauche de théorie de la mesure

La constitution de l'écriture symbolique mathématique.

This dissertation is devoted to the description of the establishment of mathematical symbolic writing, primarily achieved with Descartes geometry to examine some transcendental figures of knowledge organized by the new system, finally to analyze the part of the new symbolic in inventing and creating objects. The first part le system depicts the birth of the symbolic, organizing two registers, combinatoric s and meanings. All was in fact achieved between 1591 and 1637, vieta s isagoge and Descartes geometry we describe from Diophantus to cardan the previous systems, such as cossic s and vieta s use of letters. Descartes ‘contribution was conclusive with three points: symbolic punctuation, Cartesian exponential, and the loop ( sign for equality ). The second part symbolique and invention is primarily organized around Leibniz and his discovery in 1676 of newton s epistola prior containing a lot of combinatory and meaningful questions. The chapter characteristique and new nouveau calcul describes Leibniz creating his fundamental algorithm, primarily by means of combinatory playing ‘with substitutions, apart from any signification. In the art combinatory. Substitutions and metamorphoses, the concept is extended, so as to reach its modern form: tool for mathematical invention, anchored in the symbolic. formes sans significations finally depicts a meta-procedure for building up objets from their form,initially analysed in the correspondance of 1676 between Leibniz and Newton, then in the creation of the field of complex numbers, thus resolving bombelli s riddle of imaginary quantities . We examine some accomplishments of this usual epistemological scheme in Euler s work (complex exponential and new factorial ), in some recent questions (distributions of l. Schwartz), as well as in a personal example.Cette thèse comporte trois parties.La première décrit la constitution de l'écriture symbolique mathématique, pour l'essentiel achevée avec la Géométrie de Descartes. Dans la seconde partie, l'auteur examine certains motifs "transcendantaux" de la connaissance organisés par le nouveau système. Enfin, il analyse le rôle de la symbolique nouvelle dans l'invention et la création d'objets.La première partie, "Le système", décrit la naissance du symbolique, entraînant l'organisation de deux registres, combinatoire et signifiant. Tout s'est joué entre 1591 et 1637, c'est à dire entre l'Isagoge de Viète et la Géométrie de Descartes. Après avoir décrit, de Diophante à Cardan les systèmes rudimentaires préalables, grecs puis médiévaux, tel le cossique avec ses apories, l'auteur analyse les six points qui se révélèrent essentiels à cette constitution : la représentation du requis (la ou les inconnues), du donné (avec pour conséquence la "littéralisation" du texte), celle des opérations (par le moyen des assembleurs), des puissances (l'exponentielle cartésienne), de la mise en relation par égalité (tel la 'Boucle'cartésienne), enfin la ponctuation du texte symbolique. Sur trois de ces rubriques, la contribution de Descartes fut décisive. Ainsi, de Viète à Descartes, l'écriture symbolique mathématique s'est constituée, revêtant les aspects principaux de sa structure actuelle.La seconde partie "Symbolique et invention" est d'abord organisée autour de Leibniz et de sa rencontre en 1676 avec l'Epistola Prior de Newton et un lot de questions combinatoires et signifiantes. Le chapitre "Charactéristique et Nouveau Calcul" décrit Leibniz créant son Algorithme fondamental, initialement par le seul "jeu combinatoire" des substitutions, hors de toute signification. Dans "L'Art combinatoire. Substitutions et métamorphoses", le concept s'élargit, parvenant à sa forme moderne : un outil de l'invention mathématique ancrée dans le symbolique. "Formes sans significations" décrit enfin un méta-procédé de construction d'objets à partir de leur "forme", d'abord analysée dans les échanges de 1676 entre Leibniz et Newton, puis dans la création du corps des nombres complexes dénouant l'énigme des "quantités imaginaires" de Bombelli.La méthodologie se compose du choix des "canons électifs" et de la procédure canonique. Quant à l'énoncé du "principe", il est simplement le suivant : "tout objet, toute formule mathématique, apparemment en soi, peut le cas échéant être regardé comme une instance seulement d'un objet ou un canon plus vaste qui le recouvre et le prolonge sur le plan signifiant, cependant que sa forme symbolique reste inchangée".L'auteur examine ensuite diverses réalisations de ce schéma épistémologique, tant chez Euler (exponentielle complexe et "factorielle" neuve) que récentes (distributions de Laurent Schwartz), ainsi qu'un exemple tiré de sa recherche personnelle (quasi-ensembles).L'auteur évoque les problèmes soulevés par la terminologie et propose des solutions. Le discours mathématique quotidien, écrit ou parlé, s'accompagne d'une confusion entre signifiant et combinatoire, ou encore chose et symbole, une distinction qui n'est pas usuellement inscrite, même dans l'écrit, et toujours de cette même façon : c'est le représentant qui est confondu avec le représenté. Une confusion délibérée qui vient s'accomplir dans la complète absence d'une terminologie combinatoire" pour le vocabulaire des mathématiques usuelles et opératoires (livres, manuels, articles), qui fait preuve sur ce point d'une effarante imprécision quant au registre véritablement concerné. Ainsi, de "terme" ou de "membre" (d'une équation), d'"expression", de "couple", ou encore de "formule", qui peut renvoyer indifféremment dans le même texte au contenu (un résultat, le plus souvent universel) mais aussi à la forme (une concaténation de signes). Le vocabulaire usuel des mathématiques suscite ainsi à l'évidence un nombre considérable de semblables situations. Or la division signifiant-signifié paraît indispensable à toute analyse épistémologique, historique, ou didactique. L'auteur s'est donc donné pour tâche de pallier dans un certain nombre de cas le manque de termes spécifiques en provenance du registre combinatoire.Notes : L'ouvrage comporte de nombreuses références, en particulier aux travaux de : Bernoulli, Bombelli, Cajori, Cardan, Diophante, Euclide, Euler, Heath, Newton, Stiefel, Tschirnaus, Viète, Wallis.Il comporte deux types d'index : l'un des auteurs, l'autre des sujets

Descartes et la constitution de l'écriture symbolique mathématique/Descartes and the establishment of symbolic mathematical writing

SUMMARY. — This paper has its origins in a comparison between two mathematics texts. On the one hand, Cardan's Ars magna (1545) is indecipherable today, and yet it is very representative of the mathematical XVIth century. On the other hand, Descartes's Géométrie is the very first directly readable text in the history of mathematics. After 1637, the text of the Géométrie was certainly modified and improved, but in its original form the text had already acquired the constituent features of its present form. How and why did such drastic changes, reflected by the differences between the two mathematics texts, take place ? I suggest historical and epistemological answers to these questions, as well as an analysis of Descartes's role regarding the following three basic points in the establishment of symbolic writing : the representation of powers (Cartesian exponents), then the representation of equality, and, finally, the representation of aggregation. I briefly describe one of the previous symbolic systems, called « diophanto-cossic », with all of its contradictions. The community adopted Descartes's system instead, and it still remains in use today. Moreover, it was, chronologically speaking, the first. Actually, the Cartesian exponential for powers appeared for the first time in rule XVI of Descartes's Regulae.RÉSUMÉ. — Cet article trouve son origine dans la mise en regard de deux textes mathématiques : d'un côté, l'Ars magna de Cardan (1545), indéchiffrable aujourd'hui et cependant très représentatif du XVIe siècle mathématique ; d'autre part, la Géométrie de Descartes, le tout premier texte dans l'histoire des mathématiques pour nous directement lisible. Après 1637, certes le texte se modifie et se perfectionne, mais il aura définitivement acquis les traits constitutifs de sa forme actuelle. Comment et pourquoi pareil bouleversement? A ces questions, on propose des réponses historiques et épistémologiques, ainsi que l'analyse du rôle de Descartes quant à ces trois points essentiels dans la constitution de l'écriture symbolique, la représentation des puissances (l'exposant cartésien), celle de l'égalité ensuite, enfin celle de l'agrégation. On décrit brièvement un système symbolique préalable, appelé diophanto-cossique, avec ses apories. A sa place, ce fut le système de Descartes qui fut adopté par la communauté, et demeure en vigueur encore aujourd'hui. Il fut aussi chronologiquement le premier. La première apparition de l'exponentielle cartésienne pour les puissances figure en effet dans la règle XVI des Regulae.Serfati Michel. Descartes et la constitution de l'écriture symbolique mathématique/Descartes and the establishment of symbolic mathematical writing. In: Revue d'histoire des sciences, tome 51, n°2-3, 1998. « Pour Descartes » Mathématiques et physique cartésiennes. pp. 237-290